Công thức nguyên hàm là một trong những bài toán nan giải đối với các bạn học sinh lớp 11,12 vì tần suất xuất hiện đều đặn trong các đề thi vào đại học. Cùng Top Uni tìm hiểu “Công thức nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao kèm bài tập 2021” để đạt kết quả cao trong lần kiểm tra tiếp theo bạn nhé!

Định nghĩa và định lí công thức nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu như F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Kí hiệu: ∫ f(x)dx = F(x) + C.

Định lí 1:

1) Nếu như F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu như F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x) + C; C ∈ R là họ toàn bộ các nguyên hàm của f(x) trên K.

Tính chất của nguyên hàm

• (∫ f(x)dx)’ = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.

• Nếu như F(x) có đạo hàm thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).

• ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là hằng số khác 0.

• ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.

Sự hiện hữu của nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bảng bí quyết nguyên hàm hàm số

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Bảng nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0)

Bảng nguyên hàm mở rộng

Bảng công thức nguyên hàm nâng cao (a ≠ 0)

Phương pháp  công thức nguyên hàm

Phương pháp đổi biến

Đổi biến dạng 1

a. Định nghĩa.

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] nắm rõ ràng trên K. khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì:

∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

b. Phương pháp giải

Bước 1: Chọn t = φ(x). trong số đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Bước 4: Khi đó: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến loại 2

a. Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) liên tục trên K; x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). lúc đó, ta có:

∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt

b. Phương pháp chung

Bước 1: Chọn x = φ( t), trong số đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

Bước 2: Thu thập vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Bước 4: Khi đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

c. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Công thức nguyên hàm từng phần

a. Định lí

Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx

Hay ∫udv = uv – ∫vdu

(với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx)

b. Phương pháp chung

Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f₁(x).f₂(x)dx

Bước 2: Đặt:

Bước 3: Khi đó: ∫u.dv = u.v – ∫v.du

c. Các dạng thường gặp

Dạng 1

Dạng 2

Dạng 3

Bằng phương pháp tương tự ta tính được  sau đó thay vào I.

Lỗi thường gặp khi giải toán về công thức nguyên hàm

Đa phần khi giải dạng đề này các bạn thường mắc phải các sai lầm như:

– Hiểu sai bản chất công thức

– Cẩu thả, dẫn đến tính sai nguyên hàm

– Không nắm vững khái niệm về nguyên hàm, tích phân

– Đổi biến số tuy nhiên bỏ xót đổi cận

– Đổi biến không tính vi phân

– Không nắm vững phương pháp nguyên hàm từng phần

Dưới đây sẽ là một vài lỗi sai rõ ràng mà người giải đề thường xuyên gặp phải khi giải các đề toán liên quan đến bảng nguyên hàm. Các bạn hãy cùng theo dõi để tránh mắc phải tương tự nhé!

• Nhớ nhầm công thức của nguyên hàm

Nguyên nhân: nền tảng của nguyên hàm là đạo hàm. Tức là mong muốn giải được nguyên hàm trước tiên bạn cần học hoặc tham khảo về đạo hàm trước đã. Và cũng bởi vậy mà khi chưa hiểu rõ được thực chất của hai định nghĩa này chúng ta có thể dễ bị nhầm lẫn giữa cả hai, nhầm công thức này qua công thức kia.

Khắc phục: học vững bảng nguyên hàm cơ bản, luyện tập thói quen kiểm tra công thức: thu thập đạo hàm của nguyên hàm tìm được coi có bằng số đề cho hay không.

• Không vận dụng đúng định nghĩa tích phân

Khắc phục: đọc và nắm kỹ khái niệm tích phân. Tạo thói quen khi tính ∫f(x)dx nhớ chú ý kiểm duyệt xem hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn hay không. chú ý đáng chú ý, nếu hàm số không liên tục trên đoạn thì có nghĩa là tích phân đó không tồn tại!

• Nhớ nhầm tích phân nguyên hàm

Nguyên nhân: thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần thì có nhiều bạn thường tự thông minh ra quy tắc nguyên hàm của một tích. Lỗi sai này rất nghiêm trọng tuy nhiên cũng rất phổ biến.

Khắc phục: một lần nữa đọc lại và nắm vững phẩm chất của nguyên hàm và tích phân

• Vận dụng sai công thức nguyên hàm

Nguyên nhân: vì dạng đề và công thức bảng nguyên hàm rất nhiều nên nhiều trường hợp các bạn Áp dụng sai công thức, hoặc nhớ nhầm từ công thức này sang công thức kia

Khắc phục: cẩn thận và tỉ mỉ là một yếu tố cực kỳ thiết yếu dành cho môn toán, tại vì nhiều khi chỉ cần sai một con số nhỏ hoặc một công thức nhỏ trong bảng nguyên hàm nói riêng cũng giống như trong bài toán nói chung thì mọi kết quả sẽ trở nên công cốc.

Bởi vậy một lần nữa lời khuyên dành cho cách khắc phục các lỗi sai này là học thuộc vững bảng nguyên hàm và các công thức nguyên hàm căn bản. Hiểu đúng dạng đề để tránh dùng sai công thức. Tính toán, áp số cẩn trọng, tránh những sai xót vặt vãnh.

Giai bài tập toán 12 chương nguyên hàm

Bài 1/126

a. Hãy nêu khái niệm nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) trên một khoảng.

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Nói ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

Chỉ dẫn giải:

a. Xét hàm số f(x) xác định trên tập nắm rõ ràng A.

Như vậy, hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên A khi F(x) thỏa mãn: F’(x)= f(x) ∀ x ∈ A.

Cách tính nguyên hàm từng phần:

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên A, khi đó:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx

Ta có khả năng viết gọn lại: ∫udv = uv – ∫vdv.

Ví dụ minh họa:

Bài 2 trang 126

a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

b. Tính chất của tích phân là gì? ví dụ cụ thể.

Chỉ dẫn giải:

a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]

Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

b. Tính chất của tích phân:

Bài 3 trang 126

Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)

b. f(x)= sin(4x).cos²(2x)

d. f(x) = (e^x – 1)³

chỉ dẫn giải:

a. Ta có:

(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x³ – 11x² + 6x – 1

Suy ra

b. Ta có:

Suy ra:

c. Ta có:

Suy ra:

d. Đối với bài này, độc giả có thể theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi Áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ, tuy nhiên Kiến xin giới thiệu cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm.

Đặt t=e^x

Suy ra: dt=e^xdx=tdx, Vì vậy

Ta sẽ có:

Với C’=C-1

Bài 4 trang 126

Tính một vài nguyên hàm sau:

Chỉ dẫn giải:

Bài giảng công thức nguyên hàm

Kết luận 

Hy vọng những kiến thức về công thức nguyên hàm trên đây sẽ giúp bạn chuẩn bị kỹ càng cho kỳ thi sắp đến. Con đường học tập là cả một chặng đường dài, mong bài viết “Công thức nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao kèm bài tập 2021” do Top Uni tổng hợp hữu ích với bạn.